1 3 = En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. 2 Comme base il ne faut donc qu’un seul vecteur vérifiant e système, on prend par exemple : A partir de cela, on peut former la matrice diagonale D ainsi que la matrice de passage P à partir des bases trouvées, à savoir les vecteurs X, Y et Z : Comme les deux premiers vecteurs appartiennent à E4, les deux premiers coefficients de D seront 4, et comme le troisième vecteur appartient à E2, le 3ème coefficient de D sera 2 : Le schéma ci-dessous représente la correspondance entre les colonnes de P et les coefficients de D : On aurait très bien pu mettre Z en premier puis X et Y dans P, mais alors l’ordre des coefficients de D aurait changé : Temps de travail prévu : 55 minutes. —. —, On retrouve ici le fait que le vecteur X doit être non nul…. 0 Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. Vect = C'est la somme des modules des coordonnées de , … ∈ 0 Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. Si une matrice M de dimension n possède n valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable. ) Pour les trouver on va utiliser la résolution du système précédent, on avait trouvé z = -x. 2. ) T x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 n’ont pas de racine réelle, donc ils ne sont pas factorisables dans , donc P n’est pas scindé dans . Par exemple : On pourrait aussi imaginer que dans P on ne mette pas X et Y l’un à côté de l’autre mais comme ils font partie du même sous-espace propre cela a peu d’intérêt (mais c’est mathématiquement faisable). Comme tu le vois, rien de compliqué, il faut garder le même ordre pour P et pour D : Bien sûr il y a plusieurs possibilités pour P et D : si on change l’ordre des vecteurs de P, on change l’ordre des coefficients diagonaux de D. Tout ce que l’on a vu jusqu’à présent est valable si M a n valeurs propres distinctes. 4 est racine double (autrement dit 4 est racine de multiplicité 2 : m(4) = 2) ( 6 est racine triple (autrement dit 6 est racine de multiplicité 3 : m(6) = 3) Le raisonnement va se baser sur les sous-espaces propres qui, rappelons-le, est constitué de vecteurs propres (et du vecteur nul). ) De la même manière que l’on regroupe l’ensemble des vecteurs propres d’une même valeur propre, on regroupe l’ensemble des valeurs propres d’une même matrice. 2 ) Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. = ) ( Lorsque c’est le cas, les diagonaliser. Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. On trouve ainsi que M est une matrice diagonale qui est déjà égale D !! Question 2 Soit , montrer que est diagonalisable. On pr´ esente quelques … En revanche, un vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre. On pourrait calculer le polynôme caractéristique et montrer que les valeurs propres sont 2 et 4 (entraîne-toi à le faire). L’ensemble des valeurs propres d’une matrice est appelé le spectre de la matrice. Il y a par exemple : On vérifie facilement que − 2 I = M Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! On procède de même pour E–3 et l'on obtient : E Diagonalisation I Si A2Rn nest sym etrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A= S S 1 avec S; 2Rn n I est la matrice diagonale des valeurs propres (r eelles). Considérons le produit : . A noter : dans l’énoncé ci-dessus il est précisé sur car, comme on l’a vu précédemment, un polynôme peut être scindé sur mais pas sur . − Si la multiplicité est supérieure à 1 : il faut calculer la dimension du sous-espace propre : x Nous verrons aussi à quoi sert la diagonalisation d’une matrice. A noter qu’un vecteur propre est nécessairement NON NUL !!! A est diagonalisable sur ⇔ son polynôme caractéristique est scindé sur et pour chaque valeur propre λ de A, m(λ) = dim(Eλ). } Nousallonsénoncerdesconditions qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. , donc cette matrice est diagonalisable. 1 A Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 12 5.1. – si au moins un des sous-espaces propres a une dimension inférieure à la multiplicité, la matrice n’est pas diagonalisable. Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. 2 C’est le cas que l’on a vu précédemment : — 1 Ce sous-espace propre étant un espace vectoriel, il y a une dimension : dim(Eλi). Il s’agit d’une matrice triangulaire, donc les valeurs propres sont 4 et 3. k En regroupant un vecteur propre de chaque valeur propre, on obtient une base qui permet de former la matrice P. 0 Le cours se divise donc en 2 grandes parties : - Montrer qu'un endormorphisme ou qu'une matrice est diagonalisable - Diagonaliser effectivement cet endormorphisme ou cette matrice Pour cela nous déterminons les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres aussi appelés éléments propres. v x La réciproque se montre assez facilement (tu peux t’entraîner à le faire ). Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. Il n’y a donc qu’une seule valeur propre, mais A n’est pas égal à 8 Id donc A n’est pas diagonalisable. v k En effet, on a la propriété suivante : — ATTENTION il faut que les coefficients de la matrice soient réels !!! Initialisation d'une matrice rectangulaire [modifier | modifier le wikicode] Les matrices sont créées à partir d'un vecteur : les valeurs sont prises une par une pour remplir le tableau, colonne par colonne. 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). Par exemple : (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) est scindé. — Une valeur propre ne peut pas exister sans vecteur propre et réciproquement. En effet, si on a une valeur propre λ associée au vecteur propre X, on a : Le vecteur propre et la valeur propre sont reliés par cette égalité. A Une fois la dimension trouvée, il ne reste plus qu’à trouver une base, composée d’autant de vecteurs libres que la dimension. Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. 0 X Cas particulier : une seule valeur propre Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation Plan du cours 1 Eléments propres d'un endomorphisme 2 Polynôme caractéristique d'une matrice 3 Diagonalisation d'une matrice Diagonaliser une matrice diagonalisable Conditions de diagonalisabilité Exemples 4 Applications de la diagonalisation Puissance d'une matrice diagonalisable Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice. Soit M2M – si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité, alors la matrice est diagonalisable Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. 3 Exo. {\displaystyle u_{i}} Remarque : on a vu précédemment que pour un polynôme scindé, la somme des multiplicité était égale au degré de P. Soit (en dimension quelconque) p un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme idempotent : p2 = p. Il est annulé par le polynôme X2 – X = (X – 1)X, qui est scindé et à racines simples. Ainsi une matrice peut être diagonalisable sur mais pas sur , donc attention à l’énoncé de l’exercice ! En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. 11 4.3. Ainsi, 4 est racine double du polynôme caractéristique et dim(E4) = 2, et on a vu que 2 est racine simple avec dim(E2) = 1 : la matrice M est donc diagonalisable ! Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. E D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la … En effet, un premier théorème nous dit que : — Or si la multiplicité est égale à la dimension du sous-espace, cela signifie que la somme des dimensions des sous-espaces est égale est égale au degré de P, qui est lui-même égal à la dimension de l’espace total : on retrouve le théorème vu précédemment : une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. ) La matrice de passage P dont nous avons parlé précédemment sera en fait constituée de vecteurs propres, et même mieux des vecteurs des bases des sous-espaces propres ! Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. Si la matrice est de dimension n, il faut donc n vecteurs propres libres afin de constituer la matrice P, et pour cela il faudra concaténer (c’est-à-dire regrouper) les bases de chaque sous-espace propre. Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : De même, chaque sous-espace propre ne peut être de dimension 2 pour les mêmes raisons (la somme des dimensions ferait 4). 0 Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. § 2. On a alors la propriété suivante extrêmement importante : — —. − La matrice, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres —. Mais avant cela, voyons un cas particulier. ) {\displaystyle I} Il s’agit du cas où une matrice M n’a qu’une seule valeur propre λ. Espace propre associ e a une valeur propre 13 … = det Pour diagonaliser une matrice : P(x) = α(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn) Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique ), puis l’` on peut verifier l’ensemble de ses r´ ´esultats en Maintenant, il ne reste plus qu’à savoir comment calculer la dimension des sous-espaces propres et en trouver une base ! – soit le polynôme caractéristique n’est pas scindé, et alors la matrice n’est pas diagonalisable ( Ici la variable du polynôme caractéristique étant λ on factorisera le polynôme par (λ – a). ( Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes. T Il nous reste maintenant à voir comment calculer les valeurs propres, et trouver les vecteurs propres et sous-espaces propres ! Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la décomposition d'un espace vectoriel en une somme directe de droites stables par un endomorphisme. {\displaystyle \operatorname {dim} (E_{-3})=1\,} En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. Si on prend comme matrice P les vecteurs X, Y et Z dans cet ordre, la matrice D sera la matrice diagonale 1, 2 et – 4 dans cet ordre. Une première conséquence est que si l’on a n valeurs propres distinctes, on aura n vecteurs propres distincts libres qui formeront une base et constitueront la matrice P, et M sera alors diagonalisable ! {\displaystyle E_{-3}=\operatorname {Vect} \left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\right\}}. Ces trois étapes forment la méthode générale pour diagonaliser une matrice, mais il existe des cas particuliers plus rapides permettant de savoir si une matrice est diagonalisable ou non et qu’il faut impérativement connaître ! 2 Cas particulier : une seule valeur propre. A Alors k MX = k λ X Il est donc dans ce cas diagonalisable, ses deux sous-espaces propres (pour les valeurs propres 1 et –1) étant d'ailleurs ceux (pour les valeurs propres 1 et 0) du projecteur p = (s + id)/2. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. ⁡ | — x = 1 Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. 3. + Autre propriété importante : la dimension d’un sous-espace propre est au moins égale à 1 (puisqu’il y a au moins un vecteur propre non nul), et au plus égale à la multiplicité de la valeur propre : Conséquence : si multiplicité d’une racine est 1, son sous-espace propre est obligatoirement de dimension 1 (c’est le cas le plus simple, si la multiplicité n’est pas 1 il va falloir calculer la dimension du sous-espace propre…). Un sous-espace propre est un espace vectoriel, il est souvent noté Eλ s’il est associé à la valeur propre λ. La matrice , en tant qu'élément de , est donc diagonalisable ; elle est semblable (dans ) à la matrice . Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. {\displaystyle U={\begin{pmatrix}3&1&1\\2&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix}}.}. avec . 3 Si une matrice A est symétrique et réelle, alors elle est diagonalisable. − Notations. − MX = 4X (car λ = 4). Les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, la matrice est diagonalisable et il existe une matrice de vecteurs propres unitaire, à savoir telle que . Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles. ( Attention qu’ici un sous-espace propre ne peut être de dimension 3 car l’autre étant au moins égal à 1, la somme serait au moins de 4, ce qui contredit une propriété vue précédemment (la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à n). ) Cela signifie que : — (puisque k peut être n’importe quel réel non nul, car si k est nul kX = 0 et on a vu que le vecteur nul n’était pas un vecteur propre). —. dim D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la matrice serait la plus simple possible. 2 —. On rappelle que matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée : tA = A. Il faut faire beaucoup d’exercices sur ce chapitre pour bien le maîtriser, d’autant plus qu’il est très important. Nous avons vu que les racines du polynôme caractéristique d’une matrice étaient les valeurs propres de cette matrice. Prenons par exemple une matrice 3 x 3 notée M. Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… . Enfin, on pourrait démontrer de manière assez simple (entraîne-toi à le faire) que la somme des multiplicités des racines d’un polynôme scindé est égale au degré du polynôme : — Une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. Cet outil vous permettra de diagonaliser une matrice carrée tout en calculant la matrice de passage et son inverse. Sinon cela ne marche pas… est fini, toute famille Pour un polynôme P scindé, en appelant λi les racines de P : Quelques applications de la diagonalisation 1. 1 3 Mais il arrive que certaines racines soient, doubles, triples, quadruples etc… – le sous-espace propre de 4 est de dimension 2 et celui de 9 de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. 3ème cas particulier : Cependant : Si une famille E Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). Cherchons les valeurs propres de A. Ces sous-espaces propres étant des espaces vectoriels, ils ont une dimension, et on peut trouver une base constituée par définition d’autant de vecteurs que la dimension de cet espace. P(x) = (x – 5)2(x – 7)4(x2 + 2x + 7)(x2 + 3x + 5) Laissez des cellules vides pour entrer dans une matrice non carrées. - V – LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE - -1) Pratique de la diagonalisation - - Rappels : Un polynôme est " scindé " s'il peut se factoriser entièrement en produit de polynômes du premier degré . 0 Comparer. (x – 3)2(x + 7)(x – 4)9 est scindé mais n’est pas à racines simples. Post by "Romain M." @ifrance.com> je connais une preuve différente, ca t'intéresse peut etre quand même. i . ) Soit M une matrice symetrique réelle. Il faut donc trouver tous les sous-espaces propres et additionner leurs dimensions pour savoir si une matrice est diagonalisable ou pas. Par exemple, si on a un sous-espace de dimension 3, on peut trouver une base constituée de 3 vecteurs, si on a un sous-espace de dimension 5, il existe une base constituée de 5 vecteurs etc…. On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 : Il est de dimension 2, donc est diagonalisable. II) La diagonalisation d’une matrice 1) Définition Définition 2 Considérons une matrice carrée Ad’ordre n. La matrice Aest diagonale s’il existe une matrice d’ordre n,inversible Stelle que la matrice S−1ASsoit diagonale. 2 Si oui, la diagonaliser. D’où la propriété : — , avec Si certains xi sont identiques, on les regroupe, ce qui donne une multiplicité de 2, 3, 4 etc…, En revanche, si tous les xi sont différents, on dit que le polynômes est scindé à racines simples (autrement dit la multiplicité de chaque racine est 1) : U En calculant ce déterminant, on obtient un polynôme dont la variable est λ (voir le cours sur le déterminant pour avoir plus de précisions sur la manière de calculer ce déterminant). D’où λ1X = λ2X, d’où λ1 = λ2, ce qui contredit le fait que λ1 et λ2 soient différentes. ( A noter que le vecteur nul fait partie de Eλ (car M × 0 = λ × 0) mais n’est pourtant pas un vecteur propre. Prenons une valeur propre λ. Il y a au moins un vecteur propre associé par définition. ⁡ ( Ainsi, en trouvant les racines du polynôme caractéristique, on trouve les valeurs propres ! u Saches tout d’abord qu’on ne peut diagonaliser que des matrices carrées, donc toutes les matrices que l’on cherchera à diagonaliser seront carrées (on ne le précisera donc pas à chaque fois). Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. 11 4.3. 1 ) Mais on a vu précédemment qu’il y a plusieurs vecteurs propres (tous ceux proportionnels à un vecteur propre). On en conclut que si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre est de dimension 1, et comme il faut prendre une base de chaque sous-espace propre on ne prend qu’un seul vecteur propre de chaque sous-espace (celui que l’on veut, le plus simple étant le mieux^^). — x Exercice 10 Question 1 Étudier la diagonalisation de . —. ∈ Puissance d’une matrice semblable. ) + Tous ces vecteurs propres sont rassemblés dans un espace vectoriel appelé sous-espace propre et noté Eλ. 3 On a donc MX = λ1X et MX = λ2X Elle est donc diagonalisable dans une base orthonormée. 12 5. A Deux cas peuvent alors se présenter : } ( Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. Toujours en dimension quelconque, soit s une symétrie, c'est-à-dire un endomorphisme involutif : s2 = id. Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). {\displaystyle u_{i}} Nous verrons plus tard comment calculer les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres associés, mais voyons d’abord certaines propriétés liées à la diagonalisation. 0 On peut écrire : où et . De manière générale, et si on prend comme variable x et non λ : — = − 0 − 1) On commence par calculer le polynôme caractéristique en le factorisant au maximum : les racines correspondent aux valeurs propres. 2 Propriétés I – mettre dans P d’abord X et Y, puis Z, et alors D aura sur sa diagonale dans l’ordre 4, 4 et 2. Quelques applications de la diagonalisation 1. 1 Cet outil vous permettra de diagonaliser une matrice carrée tout en calculant la matrice de passage et son inverse. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. 3 Mais il est judicieux de factoriser le polynôme caractéristique à partir de ses racines. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Il faut tout d’abord remarquer que toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. On peut combiner les 2 cas particuliers ! A et 2 u det(A – λ Id) est scindé à racines simples donc A est diagonalisable. ⁡ Cette matrice admet comme valeurs propres : Ainsi A qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable. Mais diagonaliser une matrice, qu’est-ce-que cela signifie ? Corrigé de l’exercice 1 : Si , par par Si . = Ainsi, si on a une matrice M quelconque (non diagonale) et qu’après calcul on trouve qu’elle n’a qu’une seule valeur propre, pas besoin de chercher les vecteurs propres, il suffit d’utiliser la propriété précédente pour dire qu’elle n’est pas diagonalisable. tels que : – le sous-espace propre de 4 est de dimension 1 et celui de 9 de dimension 2 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. 3 2) S’il n’est pas scindé, la matrice n’est pas diagonalisable. Cela reste vrai pour tous les polynômes de degré 2 dans , ils ont tous des racines (réelles ou complexes) et on peut les factoriser, ce qui permet d’avoir des polynômes scindés. (Lorsque H est de dimension finie n sur K, une écriture matricielle montre que leurs dimensions sont égales respectivement à n(n + 1)/2 et n(n – 1)/2 si H est euclidien, et toutes deux égales à n2 si H est hermitien.). La matrice P est alors la matrice de changement de base (ce pourquoi elle est inversible). Cela arrive quand le terme (λ – a) est à une certaine puissance, cette puissance est appelée la multiplicité de la racine, et est noté m(a). En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale. 3 On note O la matrice de passage de la base canonique a la base de diagonalisation. Sauf que si un sous-espace propre est de dimension 4 par exemple, sa base sera constituée de 4 vecteurs : la matrice P aura donc 4 vecteurs associés à une même valeur propre. Voyons maintenant comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés. 1 —. 0 Introduction 3 Il faut maintenant faire la même chose pour E2, on commence donc par résoudre le système : diagonalisation d'une matrice réelle symétrique utilisant les matrices. u Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours ( La plupart du temps, le sous-espace propre sera de dimension 1 ou 2. T Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une homothétie. B ( 2 Etant donnés un espace vectoriel , et un endomorphisme de , on sait qu'une matrice de dépend de la base de dans laquelle elle est exprimée. Oui mais comment choisir le vecteur propre associée à une valeur propre ? Après une première partie assez théorique axée sur le vocabulaire, nous verrons concrètement comment diagonaliser une matrice, et les vidéos disponibles en fin de chapitre t’aideront encore plus à comprendre ! − − Encore une fois on peut combiner avec les cas particuliers précédents. 3 Tu devrais trouver comme polynôme caractéristique : (2 – λ)(λ – 4)2 Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. − , avec polynôme caractéristique scindé et recherche de la matrice de passage P et de son inverse 5. ) Diagonalisation : exercices BCPST 2 13/14 Exercice 1 On consid ere les matrices Aet Psuivantes : A= 0 @ 11 5 5 5 3 3 5 3 3 1 A et P= 0 @ 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 A: 1) D emontrer que Pest inversible et d eterminer P 1. − 3 Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Diagonalisation des matrices sym etriques r eelles Matrices sym etriques D e nition Une matrice A 2M n(K) est dite sym etrique si tA = A. Lemme Soit f un endomorphisme d’un espace Euclidien E. Si la matrice de f est sym etrique dans une base orthonorm ee de E, alors la matrice de f est sym etrique dans toute base orthonorm ee de E. D e nition ) Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement. On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. = Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes : Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul : Remarquons que les valeurs propres λk apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former P. Soit x = U {\displaystyle B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&{-3}\end{pmatrix}}} 2) V eri er que la matrice D= P 1APest une matrice diagonale. Comparer. 3 —, De manière évidente, chaque xi est une racine de P (si on remplace x par xi, un des facteurs sera nul et donc P(xi) sera nul).
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